命題１７
量が共にとられて比例しているならば、それらはそれぞれ分けてとられてもまた比例している。
AB、BE、CD、DFを共に取られて比例する量とする。つまりABはBEに対し同じようにCDはDFに対する。definitionⅤ．１４
それらはまた分けて取られても比例することをいう。つまりAEはEBに対し同じようにCFはDFに対する。definitionⅤ．１５
AB、BE、CD、FDの同倍数GH、HK、LM、MNをとり、EBとFDの他の、任意の、同倍数KOとNPをとる。
GHがAEの同倍数で同じようにHKはEBの同倍数であるから、それゆえにGHはAEの同倍数であり同じようにGKはABの同倍数である。propositionⅤ．1
しかしGHはAEの同倍数であり同じようにLMはCFの同倍数であり、それゆえにGKはABの同倍数であり同じようにLMはCFの同倍数である。
再度、LMはCFの同倍数で同じようにMNはFDの同倍数であるから、それゆえにLMはCFの同倍数であり同じようにLNはCDの同倍数である。propositionⅤ．1
しかしLMはCFの同倍数であり同じようにGKはABの同倍数であり、それゆえにGKはABの同倍数であり同じようにLNはCDの同倍数である。
それゆえにGKとLNはABとCDの同倍数である。
再度、HKはEBの同倍数であり同じようにMNはFDの同倍数であり、そしてKOはまたEBの同倍数であり同じようにNPはFDの和であるから、それゆえに和HOはまたEBの同倍数であり同じようにMPはFDの同倍数である。propositionⅤ．２
そして、ABはBEに対し同じようにCDはDFに対し、ABとCDの同倍数GKとLNが取られて、EBとFDの同倍数HOとMPが取られるから、それゆえに、GKがHOより大きいならばLNもまたMPより大きい。等しいならば等しい。小さいならば小さい。
GKをHOより大きいとする。それぞれからHKを引く。それゆえにGHもまたKOより大きい。
しかし、GKがHOより大きいならば、LNもまたMPより大きい。それゆえにLNもまたMPより大きい。そしてMNがそれぞれから引かれるならば、LMもまたNPより大きい。つまりGHがKOより大きいならば、LMもまたNPより大きい。
同じようにGHがKOと等しいならばLMもまたNPと等しい、そして小さいならば小さいことを証明できる。
そしてGHとLMはAEとCFの同倍数であり、KOとNPが他の、任意のEBとFDの同倍数であるとき、それゆえにAEはEBに対し同じようにCFはFDに対する。definitionⅤ．５
それゆえに、量が共にとられて比例しているならば、それらはそれぞれ分けてとられてもまた比例している。
証明終了